Qual é a fórmula da distribuição binomial para a probabilidade de exatamente k sucessos em n ensaios independentes com probabilidade p de sucesso?

Fórmula:
\(P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{\,n-k}\)

Explicação:
Usa‑se a combinação \(\binom{n}{k}\) para contar as maneiras de obter exatamente \(k\) sucessos, multiplicada pela probabilidade de cada ocorrência \(p^{k}(1-p)^{n-k}\).

Exemplo:
Considere 10 peças, cada uma com probabilidade \(p=0{.}2\) de ser defeituosa. A probabilidade de exatamente 3 defeituosas é:
\(P(X=3)=\binom{10}{3}(0.2)^3(0.8)^7\)
\(\binom{10}{3}=120\), \((0.2)^3=0{.}008\), \((0.8)^7\approx0{.}2097152\).
Logo \(P(X=3)=120\cdot0{.}008\cdot0{.}2097152\approx0{.}2013\).