Como se determina o parâmetro λ para X~Poisson quando a taxa é dada por unidade de tempo e o intervalo observado é diferente, e como se calcula \(P(X\ge k)\)?

λ = (taxa por unidade de tempo) × (comprimento do intervalo); e \(P(X\ge k)=1-\sum_{i=0}^{k-1}\dfrac{e^{-\lambda}\lambda^{i}}{i!}.\div

Explicação:
Para aplicar a distribuição de Poisson, converta a taxa para o mesmo intervalo observado:
λ é a média esperada no intervalo = taxa × tempo do intervalo.
A probabilidade de pelo menos k ocorrências é o complementar da soma das probabilidades de 0 até k−1.
Use a fórmula do PMF: \(P(X=i)=\dfrac{e^{-\lambda}\lambda^{i}}{i!}\) e some para \(i=0,\dots,k-1\).

exemplo:
Suponha uma taxa de 6 eventos por hora e queira a probabilidade de ocorrerem ≥4 eventos em 20 minutos (que é 1/3 hora).
Calcule \( \lambda=6\times\frac{1}{3}=2.\)
Então \(P(X\ge4)=1-\sum_{i=0}^{3}\dfrac{e^{-2}2^{i}}{i!}.\)
Calculando aproximado com \(e^{-2}\approx0{,}1353\):
\(P(0)=0{,}1353,\;P(1)=0{,}2707,\;P(2)=0{,}2707,\;P(3)=0{,}1804.\)
Soma \(P(X\le3)\approx0{,}8571\). Logo \(P(X\ge4)\approx1-0{,}8571=0{,}1429.\)