Como se expressa, na forma de integral, a probabilidade de uma variável com distribuição normal padrão ser menor ou igual a um valor a?

\( \displaystyle \int_{-\infty}^{a}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx \;=\; \Phi(a)\)

Explicação:
O integrando é a densidade da normal padrão \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\).
A integral de \(-\infty\) até \(a\) dá a probabilidade acumulada \( \Phi(a)\).
Não há primitiva elementar para \(e^{-x^2/2}\), então usa‑se tabela, calculadora ou a função erro:
\( \Phi(a)=\tfrac{1}{2}\big(1+\operatorname{erf}(a/\sqrt{2})\big)\).

Exemplo:
Calcular \(P(X\le 0{,}5)\) para \(X\sim N(0,1)\):
\(P(X\le 0{,}5)=\int_{-\infty}^{0.5}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=\Phi(0.5)\)
Usando a relação com erf: \( \Phi(0.5)=\tfrac{1}{2}\big(1+\operatorname{erf}(0.5/\sqrt{2})\big)\approx 0.6915\).