O que a Lei dos Grandes Números e o Teorema Central do Limite garantem, respectivamente, sobre a média amostral?

LGN: \( \bar X_n \xrightarrow{p} \mu\) (consistência).
TCL: \(\dfrac{\bar X_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1)\) (convergência em distribuição).

Explicação:
A Lei dos Grandes Números afirma que a média amostral \( \bar X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\) tende ao valor verdadeiro da média \(\mu\) quando \(n\to\infty\).
O Teorema Central do Limite afirma que, ao padronizar a média com a verdadeira variância populacional \(\sigma^2\), a distribuição assintótica é a Normal Padrão, mesmo que a distribuição original não seja normal.
Além disso, o estimador da variância amostral \(S_n^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X_n)^2\) é consistente, isto é, \(S_n^2 \xrightarrow{p} \sigma^2\).

Exemplo:
Considere \(X_i\) i.i.d. Exponencial(\(\lambda\)). Então \(\mu=1/\lambda\) e \(\sigma^2=1/\lambda^2\).
Para \(\lambda=2\): \(\mu=0.5,\ \sigma=0.5\).
Com \(n=100\): \(\operatorname{Var}(\bar X_n)=\sigma^2/n=0.25/100=0.0025\).
Assim, \(\bar X_n\) está concentrada em torno de \(0.5\) com desvio padrão \(\sigma/\sqrt{n}=0.05\), e
\(\displaystyle Z_n=\frac{\bar X_n-0.5}{0.05}\approx N(0,1)\) para \(n\) grande.
Isso ilustra LGN (média próxima de 0.5) e TCL (padronizada aprox. Normal).