Como a Inferência Bayesiana combina informação prévia e dados para obter a distribuição a posteriori?

Resposta

A posteriori é dada pela regra de Bayes: \(p(\theta\mid y)\propto p(y\mid\theta)\,p(\theta)\).

Explicação:
Na inferência bayesiana, a prior \(p(\theta)\) expressa conhecimento prévio sobre o parâmetro. A verossimilhança \(p(y\mid\theta)\) expressa a informação trazida pelos dados. A combinação resulta na posteriori \(p(\theta\mid y)\), que resume o conhecimento atualizado sobre \(\theta\).
Quando a posteriori não tem forma fechada, usam-se métodos numéricos como MCMC (ex.: Metropolis, Gibbs) para aproximá‑la.

Exemplo:
Estimativa da proporção \(p\) de itens defeituosos:
Escolhe‑se prior Beta\((\alpha,\beta)\) e, com \(k\) defeituosos em \(n\) inspeções, a verossimilhança é Binomial. A posteriori é Beta\((\alpha+k,\ \beta+n-k)\).
Por exemplo, com prior Beta(2,3) e observação \(k=7,\ n=10\): posterior = Beta(2+7, 3+3) = Beta(9,6), que fornece a distribuição atualizada de \(p\).