O desvio‑padrão existe apenas para distribuições normais?

Não.

O desvio‑padrão é uma medida de dispersão aplicável a qualquer conjunto de dados ou distribuição de probabilidade.

Detalhamento:
Matematicamente, para uma amostra: \(s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}\) e para uma população: \(\sigma=\sqrt{\frac{1}{N}\sum (x-\mu)^2}\). Esses índices descrevem quanto os valores se afastam da média em qualquer distribuição; na normal a interpretação é mais direta por causa da regra empírica, mas não é exclusiva dessa família.

Exemplo:
Considere as chuvas (mm) em 5 dias: 10, 12, 8, 15, 5.
Média: \(\bar{x}=\frac{10+12+8+15+5}{5}=10\).
Desvio‑padrão amostral: \(s=\sqrt{\frac{1}{4}\big((10-10)^2+(12-10)^2+(8-10)^2+(15-10)^2+(5-10)^2\big)}\)
\(= \sqrt{\frac{1}{4}(0+4+4+25+25)}=\sqrt{\frac{58}{4}}=\sqrt{14{,}5}\approx 3{,}81\) mm.
Esse cálculo mostra que o desvio‑padrão foi usado em uma distribuição qualquer (não assumimos normalidade) para quantificar dispersão.