Flashcard FC264086
De acordo com o assunto Matemática: Conjuntos, responda: Mostre por inclusão que \(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\).
Conjuntos
IDECAN · 2022
Mostre por inclusão que \(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\).
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Resposta
Prova por dupla inclusão.1) \(A\cap(B\cup C)\subseteq (A\cap B)\cup(A\cap C)\):
Se \(x\in A\cap(B\cup C)\) então \(x\in A\) e \(x\in B\) ou \(x\in C\).
Logo \(x\in A\cap B\) ou \(x\in A\cap C\), isto é \(x\in (A\cap B)\cup(A\cap C)\).
2) \((A\cap B)\cup(A\cap C)\subseteq A\cap(B\cup C)\):
Se \(x\in (A\cap B)\cup(A\cap C)\) então \(x\in A\cap B\) ou \(x\in A\cap C\).
Em ambos os casos \(x\in A\) e \(x\in B\) ou \(x\in C\), logo \(x\in A\cap(B\cup C)\).
Assim \(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\).
Exemplo:
Se \(A=\{1,2\}\), \(B=\{2,3\}\), \(C=\{3,4\}\):
\(B\cup C=\{2,3,4\}\), então \(A\cap(B\cup C)=\{1,2\}\cap\{2,3,4\}=\{2\}\).
\(A\cap B=\{2\}\), \(A\cap C=\varnothing\).
\((A\cap B)\cup(A\cap C)=\{2\}\cup\varnothing=\{2\}\), logo as duas expressões coincidem.
Veja como foi cobrado:
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