Qual é o significado lógico do quantificador universal em uma proposição do tipo '∀x ∈ ℕ, P(x)'?

Significa que P(x) é verdadeira para todo x ∈ ℕ.

Explicação:
O quantificador ∀ afirma que, ao escolher um elemento arbitrário x do domínio ℕ, a fórmula P(x) deve valer para esse x. Não basta um caso particular; a propriedade deve ser válida para todos os elementos do conjunto.

Exemplo:
Considere \( \forall x\in\mathbb{N},\; x^2 \ge 0.\)
Escolha um \(x\) arbitrário em \(\mathbb{N}\). Como \(x\ge 0\), temos \(x^2\ge 0\).
Por exemplo, para \(x=3\): \(3^2=9\ge 0\).