Flashcard FC264204
Se \(a\mid(b\cdot c)\) e \(\gcd(a,b)=1\), o que se pode concluir sobre \(a\) e \(c\)?
Conjuntos
IDECAN · 2021
Se \(a\mid(b\cdot c)\) e \(\gcd(a,b)=1\), o que se pode concluir sobre \(a\) e \(c\)?
Mostrar resposta e comentário
Resposta
\(a\mid c\)Explicação:
Pelo teorema de Bézout existem inteiros \(x,y\) tais que \(ax+by=1\).
Multiplicando por \(c\): \(acx+bcy=c\).
Como \(a\mid acx\) e, pela hipótese, \(a\mid(bc)\), segue que \(a\mid bcy\).
Portanto \(a\) divide a soma \(acx+bcy=c\), logo \(a\mid c\).
Exemplo:
Seja \(a=7\), \(b=4\) (logo \(\gcd(7,4)=1\)) e tome \(c=21\).
Temos \(4\cdot21=84\) e \(7\mid84\).
Como \(7(-1)+4(2)=1\), multiplicando por 21 obtemos \(7(-21)+4(42)=21\).
Assim \(7\) divide os dois termos à esquerda, então \(7\mid21\), ou seja, \(a\mid c\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/261566
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em