Flashcard FC264205
Quando, para inteiros a e x≠0, a expressão \( \dfrac{a}{x^2}\) é um número inteiro?
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IDECAN · 2018
Quando, para inteiros a e x≠0, a expressão \( \dfrac{a}{x^2}\) é um número inteiro?
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Resposta
Quando \(x^2\) divide \(a\), ou seja, \(x^2\mid a\).Se \(x\) é inteiro não nulo, é preciso que todos os fatores primos de \(x^2\) estejam presentes em \(a\) com expoentes iguais ou maiores.
Em termos de fatoração: se \(x=\prod p_i^{\alpha_i}\) então \(x^2=\prod p_i^{2\alpha_i}\) e precisamos de \(a=\prod p_i^{\beta_i}\) com \(\beta_i\ge2\alpha_i\) para todo \(i\).
exemplo: seja \(a=108\).
Fatorando: \(108=2^2\cdot3^3\).
Quadrados perfeitos que dividem 108: \(1,4,9,36\) (pois \(2^0 3^0,\;2^2 3^0,\;2^0 3^2,\;2^2 3^2\)).
Assim \(x=\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\) e para cada um \( \dfrac{108}{x^2}\) é inteiro: por exemplo \(108/4=27\), \(108/9=12\), \(108/36=3\).
Veja como foi cobrado:
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