A multiplicação em \(\mathbb{Z}\) é comutativa, associativa e quando é compatível com a ordem?

Sim.
É comutativa (\(a\cdot b=b\cdot a\)), associativa (\((a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\)) e é compatível com a ordem somente quando o multiplicador é não negativo (\(c\ge0\)).

Explicação:
Se \(a\le b\) e \(c\ge0\), então \(a\cdot c\le b\cdot c\).

Exemplo:
Tomando \(a=-3\), \(b=2\) e \(c=3\) (com \(a\le b\) e \(c\ge0\)):
\(a\cdot c = -3\cdot 3 = -9\)
\(b\cdot c = 2\cdot 3 = 6\)
Logo \(-9 \le 6\), mostrando a compatibilidade da multiplicação com a ordem quando \(c\ge0\).