Flashcard FC264240
Se d(n) é primo, o que isso implica sobre os fatores (a_i+1) na fórmula d(n)=∏(a_i+1)?
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IDECAN · 2021
Se d(n) é primo, o que isso implica sobre os fatores (a_i+1) na fórmula d(n)=∏(a_i+1)?
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Resposta
Exatamente um dos fatores (a_i+1) é igual ao primo p e todos os outros são 1; logo todos os expoentes são zero, exceto um com a_i = p−1.Explicação:
Fatorialize as bases em primos e escreva \(n=\prod p_i^{a_i}\). Então \(d(n)=\prod (a_i+1)\).
Se \(d(n)=p\) é primo, o produto de naturais só pode ser \(1\cdot\cdots\cdot1\cdot p\).
Logo, para um índice j tem \(a_j+1=p\) (ou \(a_j=p-1\)) e para todo i≠j temos \(a_i+1=1\) (ou \(a_i=0\)).
Exemplo:
Se \(n=18^x\cdot25^y\) e \(d(n)=11\):
Fatorando: \(18=2\cdot3^2,\;25=5^2\) então \(n=2^x\;3^{2x}\;5^{2y}\).
Temos \(d(n)=(x+1)(2x+1)(2y+1)=11\).
Como 11 é primo, os fatores devem ser \(1,1,11\). Assim \(x+1=1\Rightarrow x=0\) e \(2y+1=11\Rightarrow y=5\).
Veja como foi cobrado:
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