Flashcard FC264243
Qual propriedade da expansão decimal caracteriza exatamente os números racionais?
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IDECAN · 2021
Qual propriedade da expansão decimal caracteriza exatamente os números racionais?
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Resposta
Os números racionais são exatamente aqueles cuja expansão decimal é eventualmente periódica (incluindo as terminantes, vistas como periódicas).
Justificativa:
Todo racional \(q=\dfrac{a}{b}\) tem expansão decimal que, após certo ponto, repete um bloco de dígitos.
Reciprocamente, se uma decimal tem parte não periódica com \(m\) dígitos e período de \(n\) dígitos, então \(10^{m+n}x-10^m x\) é inteiro, logo \(x=\dfrac{\text{inteiro}}{10^{m+n}-10^m}\), portanto é racional.
Exemplo:
Considere \(x=2.3\overline{45}=2.3454545\ldots\)
\(10x=23.\overline{45}\)
\(1000x=2345.\overline{45}\)
\(1000x-10x=2345-23=2322\Rightarrow 990x=2322\Rightarrow x=\dfrac{2322}{990}=\dfrac{129}{55}.\)
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/261605
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