Qual é a estratégia de prova por contradição para mostrar que um número é irracional usando sua representação \(p/q\) em forma irreduzível?

Assumir racionalidade \(=p/q\) com \(\gcd(p,q)=1\), obter uma relação que força um mesmo fator comum em \(p\) e \(q\), contradizendo a irreducibilidade; logo é irracional.

Explicação detalhada:
Assume-se que o número é racional, escrevendo-o como \(\dfrac{p}{q}\) com \(p,q\in\mathbb{Z}\), \(q\neq0\) e \(\gcd(p,q)=1\).
A partir da relação algébrica (por exemplo, elevando ao quadrado se for raiz) obtém-se uma igualdade que implica que um primo \(r\) divide \(p\).
Substitui-se \(p=rk\) e demonstra-se que \(r\) também divide \(q\), o que contradiz \(\gcd(p,q)=1\).
Portanto a suposição inicial é falsa e o número é irracional.

Exemplo:
Provar que \(\sqrt{3}\) é irracional:
Assuma \(\sqrt{3}=\dfrac{p}{q}\) com \(\gcd(p,q)=1\). Então
\(p^2=3q^2\).
Isso implica que \(3\mid p^2\), logo \(3\mid p\). Escreva \(p=3k\).
Substituindo: \((3k)^2=3q^2\Rightarrow 9k^2=3q^2\Rightarrow q^2=3k^2\), então \(3\mid q\).
Assim \(3\) divide ambos \(p\) e \(q\), contradizendo \(\gcd(p,q)=1\). Logo \(\sqrt{3}\) é irracional.