Como isolar a razão x/y a partir de uma igualdade entre quocientes de expressões quadráticas em x e y?

Procedimento: Multiplicar em cruz, agrupar e colocar em evidência os termos com \(x^2\) e \(y^2\), dividir para obter \(\dfrac{x^2}{y^2}\) e extrair raiz quadrada (verificando o radicando).

Explicação passo a passo:
1) Multiplicar em cruz a igualdade do tipo \(\dfrac{P x^2 + Q y^2}{R x^2 + S y^2}=\dfrac{c}{d}\).
2) Agrupar os coeficientes de \(x^2\) e de \(y^2\) e colocar em evidência: obter forma \(x^2(\cdots)=y^2(\cdots)\).
3) Dividir por \(y^2\) (supondo \(y\neq0\)) para achar \(\dfrac{x^2}{y^2}=\) expressão em \(c,d\).
4) Extrair raiz quadrada: \(\dfrac{x}{y}=\pm\sqrt{\dfrac{x^2}{y^2}}\), observando que o radicando deve ser \(\ge0\) e o denominador distinto de zero.

Exemplo:
Dada \(\dfrac{2x^2+5y^2}{2x^2-5y^2}=\dfrac{c}{d}\):
\( (2x^2+5y^2)d=(2x^2-5y^2)c \)
\( 2x^2(d-c)= -5y^2(c+d)\) ⇒ \(2x^2(c-d)=5y^2(c+d)\)
\(\displaystyle \frac{x^2}{y^2}=\frac{5(c+d)}{2(c-d)}\) então
\(\displaystyle \frac{x}{y}=\pm\sqrt{\frac{5(c+d)}{2(c-d)}}\), com \(c\neq d\) e radicando \(\ge0\).
Exemplo numérico: para \(c=5,\ d=2\), \(\dfrac{x}{y}=\pm\sqrt{\dfrac{5(5+2)}{2(5-2)}}=\pm\sqrt{\dfrac{35}{6}}\).