Como contar combinações de cores (itens indistinguíveis) ao retirar k objetos sem reposição, considerando limites de disponibilidade por cor?

Contagem: listar todos os vetores de contagem cuja soma é k e que respeitam o limite de cada cor; cada vetor viável é uma combinação distinta.

Explicação: Listar os vetores \((x_1,x_2,\dots,x_m)\) com \(x_i\ge0\) e \(\sum x_i=k\).
Filtrar somente os vetores com \(x_i\le\) disponibilidade de cada cor.
Cada vetor restante representa uma combinação de cores (ordem irrelevante); contar esses vetores.

exemplo:
Disponibilidades: A=4, B=2, C=1; retire \(k=3\).
Padrões possíveis: \((3,0,0),(2,1,0),(1,1,1)\).
\((3,0,0)\): só A é possível → 1 opção.
\((2,1,0)\): duplo em A → singles B ou C (2); duplo em B → singles A ou C (2); C não pode ser duplo → total 4 opções.
\((1,1,1)\): uma de cada → 1 opção.
Total = \(1+4+1=6\).