Flashcard FC264281
Qual é a fórmula para o número de permutações sem ponto fixo (desarranjos) de n elementos?
Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
IDECAN · 2021
Qual é a fórmula para o número de permutações sem ponto fixo (desarranjos) de n elementos?
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Resposta
\(D_n = n!\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^k}{k!}\)Esta expressão conta as permutações em que nenhum elemento permanece em sua posição original, obtida por inclusão-exclusão: soma alternada dos termos \(n!/k!\).
Exemplo:
Calcular o número de desarranjos de 4 objetos.
\(D_4=4!\left(1-\tfrac{1}{1!}+\tfrac{1}{2!}-\tfrac{1}{3!}+\tfrac{1}{4!}\right)\)
\(D_4=24\left(1-1+\tfrac12-\tfrac16+\tfrac1{24}\right)=24\left(0+\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{24}\right)\)
\(D_4=24\left(\tfrac{12-4+1}{24}\right)=24\cdot\tfrac{9}{24}=9\).
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Veja como foi cobrado:
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