Como calcular o número de combinações de k elementos de um conjunto de n que contenham pelo menos um elemento de um subconjunto de m elementos?

Resposta

Usa-se o complementar: \( \binom{n}{k}-\binom{n-m}{k} \).

Explicação:
Conta-se o total de combinações de k em n e subtrai-se as combinações que não têm nenhum elemento do subconjunto (ou seja, escolher k entre os n−m restantes).

Exemplo:
Suponha 12 livros, 4 são de matemática, escolher 5 com pelo menos 1 livro de matemática:
\( \binom{12}{5}=792 \)
\( \binom{8}{5}=56 \) (sem livros de matemática)
Logo \(792-56=736\) maneiras.