Como transformar e resolver a equação para n a partir de \(\binom{n}{2}=m\)?

n(n-1)=2m

Reescreva \(\displaystyle \binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}=m\) e obtenha a quadrática \(\displaystyle n^2-n-2m=0\).
Resolva por Bhaskara: \(\displaystyle n=\frac{1\pm\sqrt{1+8m}}{2}\) e escolha a raiz positiva inteira.

Exemplo:
Se \(m=21\): \(\;n(n-1)=42\Rightarrow n^2-n-42=0\).
\(\displaystyle n=\frac{1\pm\sqrt{1+8\cdot21}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{169}}{2}=\frac{1\pm13}{2}\).
Assim \(n=7\) (descarta-se \(-6\)). Verificação: \(\displaystyle \binom{7}{2}=\frac{7\cdot6}{2}=21\).