Como calcular o número de anagramas de uma palavra com n letras distintas e como fatorar \(n! - m!\)?

O número de anagramas é \(n!\); e, se \(n>m\), \(n!-m!=m!\Big(\prod_{k=m+1}^{n}k-1\Big)\). Em particular, se \(n=m+1\), \(n!-m!=(n-1)\cdot m!\).

Explicação:
Se uma palavra tem \(n\) letras todas distintas, todas as permutações são válidas, logo há \(n!\) anagramas.
Para a diferença entre dois factorials com \(n>m\), fatoramos \(m!\) em comum: \(n!-m!=m!\big((m+1)(m+2)\cdots n-1\big)\).

exemplo: duas palavras com 4 e 3 letras distintas têm, respectivamente, \(4!=24\) e \(3!=6\) anagramas.
Cálculo da diferença: \(4!-3!=24-6=18\).
Fatorando (caso consecutivo): \(4!-3!=(4-1)\cdot 3!=3\cdot 6=18\).