Como se calcula a distância total percorrida por uma bola até o k-ésimo toque no solo em função da altura inicial h, da razão r e do número de toques k?

D(h,r,k)= \(h+2h\sum_{i=1}^{k-1}r^i = h + 2h\cdot\frac{r(1-r^{\,k-1})}{1-r}\)

Explicação:
A queda inicial contribui com \(h\).
Cada um dos \(k-1\) quicos seguintes gera subida e descida de altura \(h r^i\), somando \(2h r^i\).
Somando: \(h + 2h\sum_{i=1}^{k-1}r^i\).
Usando a soma geométrica obtém-se a forma fechada indicada acima.

Exemplo:
Se \(h=200\ \text{cm}\), \(r=0{,}8\) e \(k=4\):
\(D=200+2\cdot200(0{,}8+0{,}8^2+0{,}8^3)\)
\(0{,}8^2=0{,}64,\;0{,}8^3=0{,}512\) → soma \(=1{,}952\)
\(D=200+400\cdot1{,}952=200+780{,}8=980{,}8\ \text{cm}\).