Como montar e resolver a equação para encontrar a quantidade inicial x quando uma quantidade passa por operações sucessivas (frações, perdas/ganhos) e termina num valor conhecido?

Modelando cada operação em ordem sobre x e igualando ao valor final obtém-se uma equação linear; isole x e resolva.

Passos: represente cada alteração sequencialmente (multiplicando por frações para retiradas parciais, somando/subtraindo para ganhos/perdas) até formar uma expressão em \(x\). Iguale essa expressão ao valor final e resolva a equação linear por isolamento de \(x\).

Exemplo:
Suponha operações: dá metade, vende um terço do que resta, perde 6, compra 12 e depois dá metade, terminando com 35.

Passo a passo:
\( \text{Inicial }=x \)
\( \text{Após dar metade }=\dfrac{x}{2} \)
\( \text{Após vender 1/3 do que restou }=\dfrac{x}{2}\left(1-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{x}{3} \)
\( \text{Após perder 6 }=\dfrac{x}{3}-6 \)
\( \text{Após comprar 12 }=\dfrac{x}{3}-6+12=\dfrac{x}{3}+6 \)
\( \text{Após dar metade }=\dfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{x}{3}+6\right)=\dfrac{x}{6}+3 \)
Igualando ao final: \( \dfrac{x}{6}+3=35 \Rightarrow \dfrac{x}{6}=32 \Rightarrow x=192.\)