Se \(f(x)^2+g(y)^2=0\) com \(f,g\) reais, o que isso implica sobre \(f(x)\) e \(g(y)\)?

Ambos devem ser zero: \(f(x)=0\) e \(g(y)=0\).

Explicação:
Cada quadrado é \(\ge 0\). A soma só pode ser zero se cada termo for zero individualmente.

Exemplo:
\( (x^2-3)^2+(y-1)^2=0 \)
Como cada parcela é \(\ge 0\), temos \(x^2-3=0\) e \(y-1=0\).
Assim, \(x=\pm\sqrt{3}\) e \(y=1\).