Como usar substituição para obter e resolver uma equação quadrática a partir de um sistema com soma e produto, e o que indica Δ=0?

Substitua a variável pela expressão da soma para formar uma quadrática e resolva com a fórmula; Δ=0 indica uma raiz dupla.

Para aplicar: expresse uma variável em função das outras usando a equação da soma, substitua na equação do produto para obter uma equação do 2º grau \(at^2+bt+c=0\). Resolva com \(t=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\). Se \(\Delta=0\), a solução é única (raízes coincidentes).

Exemplo:
Considere \(x+y=8\) e \(xy=16\). Substituindo, a equação cujas raízes são \(x\) e \(y\) é \(t^2-(x+y)t+xy=0\), ou seja \(t^2-8t+16=0\).
Calcule \(\Delta=(-8)^2-4\cdot1\cdot16=64-64=0\).
Logo \(t=\dfrac{8}{2}=4\). Assim, \(x=y=4\) (raiz dupla).