Como usar a racionalização de \(1/(\sqrt{u}+\sqrt{v})\) para comparar diferenças entre três termos e verificar se eles formam uma PA?

Resposta: Racionalize cada termo por \( \frac{\sqrt{u}-\sqrt{v}}{u-v}\), calcule as diferenças consecutivas; se iguais, os termos formam PA.

Explicação e exemplo:
Racionalização: \( \dfrac{1}{\sqrt{u}+\sqrt{v}}=\dfrac{\sqrt{u}-\sqrt{v}}{u-v}\).
Para três termos construídos com pares \((u,v),(v,w),(u,w)\), escreva cada termo racionalizado e ponha sobre denominadores relacionados a \(u-v\), \(v-w\), \(u-w\).
Se \(u,v,w\) estão em PA de razão \(r\) (ou seja \(v=u+r,\;w=u+2r\)), as diferenças consecutivas coincidem e a razão comum fica \(\dfrac{2\sqrt{v}-\sqrt{w}-\sqrt{u}}{2r}\).

Exemplo:
Se \(u=4,\;v=7,\;w=10\) (PA com \(r=3\)), os termos são
\(T_1=\dfrac{1}{\sqrt7+\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}-\sqrt7}{3}\),
\(T_2=\dfrac{1}{\sqrt{10}+\sqrt4}=\dfrac{\sqrt{10}-2}{6}\),
\(T_3=\dfrac{1}{\sqrt7+\sqrt4}=\dfrac{\sqrt7-2}{3}\).
Calcule as diferenças:
\(T_2-T_1=\dfrac{2\sqrt7-\sqrt{10}-2}{6}\),
\(T_3-T_2=\dfrac{2\sqrt7-\sqrt{10}-2}{6}\).
Como coincidem, os termos formam PA com razão \(\dfrac{2\sqrt{v}-\sqrt{w}-\sqrt{u}}{2r}=\dfrac{2\sqrt7-\sqrt{10}-2}{6}\).