Flashcard FC264514
Como determinar o número de termos n de uma PA quando se conhece o último termo a_n, a razão r e a soma total S?
Progressão Aritmética
IDECAN · 2017
Como determinar o número de termos n de uma PA quando se conhece o último termo a_n, a razão r e a soma total S?
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Resposta
Use \(a_1=a_n-(n-1)r\) e a fórmula da soma \(S=\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)\); substitua \(a_1\) e resolva a equação em \(n\).
Detalhamento:
\(a_1=a_n-(n-1)r\)
\(S=\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)=\dfrac{n}{2}\big(2a_n-(n-1)r\big)\)
Impondo \(S\) obtém-se a equação em \(n\): \( \dfrac{n}{2}\big(2a_n-(n-1)r\big)=S\), que vira um polinômio (geralmente quadrático) em \(n\); resolva e escolha a solução inteira e positiva.
Exemplo:
Se \(a_n=4\), \(r=-2\) e \(S=40\):
\(40=\dfrac{n}{2}\big(2\cdot4-(n-1)(-2)\big)=\dfrac{n}{2}(8+2(n-1))=\dfrac{n}{2}(2n+6)\)
Logo \(40=n(n+3)\Rightarrow n^2+3n-40=0\).
Resolvendo, \(n=\dfrac{-3+\sqrt{9+160}}{2}=\dfrac{-3+13}{2}=5\).
Verificação: termos \(12,10,8,6,4\) somam \(40\).
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Veja como foi cobrado:
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