Como calcular a razão r de uma progressão aritmética quando se conhecem dois termos em posições diferentes?

Use \(r=\dfrac{a_j-a_i}{j-i}\) e depois \(a_n=a_i+(n-i)r\).

Explicação:
Se conhecemos \(a_i\) e \(a_j\) (com \(i\neq j\)), a diferença total \(a_j-a_i\) corresponde a \(j-i\) passos da razão; por isso \(r=\dfrac{a_j-a_i}{j-i}\).
Com \(r\) encontrado, qualquer termo é obtido por \(a_n=a_i+(n-i)r\).

Exemplo:
Suponha \(a_3=10\) e \(a_7=22\). Então
\(r=\dfrac{22-10}{7-3}=\dfrac{12}{4}=3\).
Logo \(a_1=a_3-2r=10-2\cdot3=4\) e \(a_5=a_3+2r=10+2\cdot3=16\).
A razão entre \(a_1\) e \(a_5\) é \(\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}\).