Se duas progressões aritméticas têm o mesmo n-ésimo termo e razões r1 e r2, como expressar a diferença entre seus primeiros termos em função de r1, r2 e n?

B1 - A1 = (n-1)(r1 - r2)

Explicação:
Partindo do termo geral \(a_n=a_1+(n-1)r\), igualando os n-ésimos termos: \(A_1+(n-1)r_1=B_1+(n-1)r_2\).
Isolando a diferença: \(B_1-A_1=(n-1)(r_1-r_2)\).

Exemplo:
Se \(r_1=5\), \(r_2=3\) e \(n=6\), então \(n-1=5\) e
\(B_1-A_1=5(5-3)=5\cdot2=10\).
Tomando \(A_1=4\) e \(B_1=14\):
\(A_6=4+5\cdot5=4+25=29\) e \(B_6=14+5\cdot3=14+15=29\), confirmando que os sextos termos são iguais.