Como determinar n de uma PA sabendo a1, razão r e S_n?

Isolar n na fórmula da soma e resolver a equação obtida (normalmente quadrática).

Procedimento:
Escreva \(a_n=a_1+(n-1)r\).
Use \(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\,n}{2}\) e substitua \(a_n\) para obter uma equação em \(n\).
Resolva essa equação (Bhaskara se for quadrática).

Exemplo:
Se \(a_1=2,\ r=3\) e \(S_n=260\):
\(a_n=2+3(n-1)=3n-1\)
\(S_n=\dfrac{(2+(3n-1))n}{2}=\dfrac{(3n+1)n}{2}=260\)
\(\Rightarrow 3n^2+n-520=0\)
\(\Delta=1+6240=6241,\ \sqrt{\Delta}=79\)
\(n=\dfrac{-1+79}{6}=\dfrac{78}{6}=13\).
Logo, \(n=13\).