Como encontrar o número de termos n de uma progressão geométrica sabendo o primeiro termo a1, a razão q e o último termo a_n?

Usa-se \(a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}\) e resolve-se para \(n\) (por igualdade de potências ou por logaritmo).

Explicação:
Isola-se a potência: \(q^{\,n-1}=\dfrac{a_n}{a_1}\).
Se \(\dfrac{a_n}{a_1}\) for potência inteira de \(q\), igualam-se os expoentes: \(n-1=\log_q\!\big(\dfrac{a_n}{a_1}\big)\).
Em geral, \(n=1+\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{a_n}{a_1}\right)}{\ln q}\).

exemplo:
Se \(a_1=5,\;q=2\) e \(a_n=320\):
\( \dfrac{a_n}{a_1}=\dfrac{320}{5}=64=2^6\)
Logo \(n-1=6\Rightarrow n=7\).