Qual a expressão de \(k=\sum_{i=1}^n \ln a_i\) para uma progressão geométrica de primeiro termo \(a_1\), razão \(q\) e \(n\) termos?

k = n\ln a_1 + \dfrac{n(n-1)}{2}\ln q

Explicação:
Usa-se \(\sum_{i=1}^n\ln a_i=\ln\!\left(\prod_{i=1}^n a_i\right)\). Para uma PG, \(\prod_{i=1}^n a_i=a_1^n q^{\frac{n(n-1)}{2}}\), logo
\(k=\ln\!\left(a_1^n q^{\frac{n(n-1)}{2}}\right)=n\ln a_1+\dfrac{n(n-1)}{2}\ln q\).

Exemplo:
Se \(a_1=3\), \(q=2\), \(n=4\):
\(k=4\ln3+\dfrac{4\cdot3}{2}\ln2=4\ln3+6\ln2=\ln(3^4\cdot2^6)=\ln(5184)\approx8.553\).