Como determinar o primeiro termo de uma progressão geométrica conhecendo a soma \(S_n\), a razão \(q\) e o número de termos \(n\)?

\(a_1=\dfrac{S_n(q-1)}{q^n-1}\)

Explicação:
Partimos da fórmula da soma de uma PG (para \(q\neq1\)): \(S_n=\dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}\).
Isolando \(a_1\) obtemos \(a_1=\dfrac{S_n(q-1)}{q^n-1}\).

Exemplo:
Se \(q=3\), \(n=4\) e \(S_4=120\):
\(a_1=\dfrac{120(3-1)}{3^4-1}=\dfrac{240}{81-1}=\dfrac{240}{80}=3\).
Termos: \(3,9,27,81\) e \(3+9+27+81=120\).