Flashcard FC264548
Numa PG com 3 termos e razão r, como expressar a diferença entre o maior e o menor termo em função da soma S e de r?
Progressão Geométrica
IDECAN · 2017
Numa PG com 3 termos e razão r, como expressar a diferença entre o maior e o menor termo em função da soma S e de r?
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Resposta
\( \text{Diferença} = S\cdot\frac{r^{2}-1}{1+r+r^{2}} \)
Se os termos são \(a,\;ar,\;ar^{2}\):
\(S=a(1+r+r^{2})\) portanto \(a=\dfrac{S}{1+r+r^{2}}\).
A diferença é \(ar^{2}-a=a(r^{2}-1)=S\cdot\dfrac{r^{2}-1}{1+r+r^{2}}\).
Exemplo:
Se \(r=2\) e \(S=28\):
\(a=\dfrac{28}{1+2+4}=\dfrac{28}{7}=4\).
Termos: \(4,\;8,\;16\).
Diferença: \(16-4=12\).
Pela fórmula: \(28\cdot\dfrac{2^{2}-1}{1+2+2^{2}}=28\cdot\dfrac{3}{7}=12\).
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