Como se obtém uma equação que relaciona os coeficientes de uma função quadrática a partir de um ponto (x0,y0)?

Substituindo o ponto na forma geral \(f(x)=ax^2+bx+c\): \(y_0=a x_0^2+bx_0+c\).

Ao ter um ponto, obtém-se uma equação linear entre os coeficientes; com tantos pontos quanto incógnitas, resolve-se o sistema.

Exemplo:
Se \(f(x)=x^2+bx+c\) e o gráfico passa por \((1,2)\) e \((3,10)\):
\(2=1+b+c\) ⇒ \(b+c=1\)
\(10=9+3b+c\) ⇒ \(3b+c=1\)
Subtraindo: \(2b=0\) ⇒ \(b=0\).
Logo \(c=1\) e \(f(x)=x^2+1\).