Qual a relação entre a abscissa do vértice x_v e os coeficientes a e b, e como isso determina a soma das raízes?

Resposta

\(x_v=-\dfrac{b}{2a}\), logo \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2x_v\).

Explicação:
\(x_v=-\dfrac{b}{2a}\Rightarrow b=-2a x_v\).
Substituindo em \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\) obtemos \(x_1+x_2=-\dfrac{-2a x_v}{a}=2x_v\).

Exemplo:
Se \(x_v=-1\) então \(x_1+x_2=2x_v=-2\).
Se uma raiz é \(3\), a outra é \(x_2=-2-3=-5\).
Uma parábola com essas raízes (tomando \(a=1\)) é \((x-3)(x+5)=x^2+2x-15\), cujo vértice tem abscissa \(x_v=-\dfrac{2}{2}=-1\), confirmando.