Flashcard FC264599
Qual é o valor de det(A·A^{-1}) para uma matriz quadrada invertível A?
Determinantes
IDECAN · 2021
Qual é o valor de det(A·A^{-1}) para uma matriz quadrada invertível A?
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Resposta
1Por definição A·A^{-1}=I e, pela propriedade multiplicativa, \(\det(A\!B)=\det(A)\det(B)\), portanto \(\det(A)\det(A^{-1})=\det(I)=1\).
Também vale \(\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}\).
Exemplo:
Considere \(B=\begin{pmatrix}2&1\\[4pt]0&3\end{pmatrix}\).
\(\det(B)=2\cdot3-0=6\).
Uma inversa é \(B^{-1}=\begin{pmatrix}1/2&-1/6\\[4pt]0&1/3\end{pmatrix}\) e \(\det(B^{-1})=\dfrac{1}{6}\).
Logo \(\det(BB^{-1})=\det(B)\det(B^{-1})=6\cdot\dfrac{1}{6}=1\).
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