Flashcard FC264600
Se A é inversível e AB = 0, o que se conclui sobre det(B) e por quê?
Determinantes
IDECAN · 2021
Se A é inversível e AB = 0, o que se conclui sobre det(B) e por quê?
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Resposta
det(B)=0.Porque determinante é multiplicativo: \( \det(AB)=\det A\det B\). Como \(AB=0\) temos \(\det(AB)=\det(0)=0\). Se A é inversível então \(\det A\neq0\), logo \(\det B=0\).
Exemplo:
Considere \(A=\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]0&3\end{pmatrix}\) (invertível, \(\det A=6\)) e suponha \(AB=0\). Então \(\det(AB)=\det(0)=0\). Pela multiplicatividade, \(0=\det(AB)=\det A\det B=6\det B\), portanto \(\det B=0\). Além disso, como \(A^{-1}\) existe, multiplica-se por \(A^{-1}\) para obter \(B=A^{-1}0=0\), confirmando que \(B\) é singular.
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