Como aplicar a Regra de Sarrus para obter o determinante de uma matriz 3x3 cujas entradas dependem de x?

Use a Regra de Sarrus: some os produtos das três diagonais principais e subtraia a soma dos produtos das três diagonais secundárias; o resultado é um polinômio em \(x\) que você pode igualar a outro determinante ou valor para obter a equação em \(x\).

Explicação e exemplo
Aplica-se a Regra de Sarrus a uma matriz \(3\times3\): some \(a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\) e subtraia \((a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33})\).

Exemplo: Seja \(A=\begin{bmatrix} x & 2 & 1 \\ 3 & x+1 & 4 \\ 5 & 6 & 2 \end{bmatrix}\). Pelo Sarrus:
\( \det A = x(x+1)2 + 2\cdot4\cdot5 + 1\cdot3\cdot6 \;-\; [\,1\cdot(x+1)\cdot5 + x\cdot4\cdot6 + 2\cdot3\cdot2\,]\)
\( \det A = 2x^2+2x+40+18 - (5x+5+24x+12)\)
\( \det A = 2x^2-27x+41.\)
Igualando \(\det A\) a outro valor (por exemplo \(0\)) gera a equação quadrática \(2x^2-27x+41=0\), cuja solução se obtém pela fórmula de Bhaskara.