O que se conclui sobre as soluções de um sistema linear homogêneo quando há mais incógnitas do que equações?

Resposta

Possui infinitas soluções não triviais.

Explicação:
Num sistema linear homogêneo o posto é no máximo o número de equações; se há mais incógnitas que equações, existem variáveis livres, logo a dimensão do espaço solução é ≥1, implicando em soluções não nulas e, por multiplicação escalar, infinitas.

Considere o sistema:

\(x+y+z=0\)
\(x-y+2z=0\)

Da subtração: \(2y-z=0\Rightarrow y=\tfrac{z}{2}\).
Substituindo em \(x+y+z=0\): \(x+\tfrac{3z}{2}=0\Rightarrow x=-\tfrac{3z}{2}\).

Tomando \(z=2s\) obtém-se \((x,y,z)=s(-3,1,2)\), com \(s\in\mathbb{R}\), ou seja, uma família infinita de soluções.