Como eliminar uma variável ao somar equações de um sistema linear?

Somando/subtraindo equações com coeficientes apropriados para cancelar a variável desejada.

Explicação:
Escolhe-se duas (ou mais) equações e realiza-se uma combinação linear (adição/subtração ou multiplicação por constantes antes de somar) de modo que os coeficientes da variável a eliminar se anulem. Isso reduz a ordem do sistema, permitindo resolver as demais variáveis por substituição.

exemplo
Considere o sistema:
\( \begin{cases} x+y+z=6 \\[4pt] 2x-y+z=3 \\[4pt] x+2y-z=1 \end{cases} \)
Elimine \(z\) somando (1) e (3):
\( (x+y+z)+(x+2y-z)=6+1 \Rightarrow 2x+3y=7. \)
Elimine \(z\) outra vez fazendo (2)-(1):
\( (2x-y+z)-(x+y+z)=3-6 \Rightarrow x-2y=-3. \)
Resolva o sistema reduzido:
\( \begin{cases} 2x+3y=7 \\[4pt] x-2y=-3 \end{cases} \Rightarrow x=\tfrac{5}{7},\; y=\tfrac{13}{7}. \)
Encontre \(z\) em (1): \( z=6-x-y=6-\tfrac{5}{7}-\tfrac{13}{7}=\tfrac{24}{7}. \)
Soma das raízes: \( x+y+z=\tfrac{5+13+24}{7}=\tfrac{42}{7}=6.\)