Flashcard FC264628
Como se obtém e resolve o sistema para as partes real e imaginária ao resolver uma equação polinomial com coeficientes complexos?
Números Complexos
IDECAN · 2021
Como se obtém e resolve o sistema para as partes real e imaginária ao resolver uma equação polinomial com coeficientes complexos?
Mostrar resposta e comentário
Resposta
Escrevendo \(z=a+bi\) e separando as partes real e imaginária obtém‑se um sistema em \(a,b\) que se resolve por fatoração/substituição.Explicação:
1) Substitua \(z=a+bi\) na equação e expanda.
2) Igualando a parte real a zero e a parte imaginária a zero obtém‑se dois equações reais em \(a\) e \(b\).
3) Resolva o sistema por fatoração ou substituição (por exemplo, extraindo fatores comuns ou usando relações como \(a=\pm b\)).
exemplo:
Resolver \(z^2-2i=0\).
Coloque \(z=a+bi\).
\(z^2=(a^2-b^2)+2ab\,i\).
Então \( (a^2-b^2)+ (2ab-2)i=0\).
Parte real: \(a^2-b^2=0\).
Parte imaginária: \(2ab-2=0\Rightarrow ab=1\).
De \(a^2=b^2\) vem \(a=\pm b\).
- Se \(a=b\): \(a^2=1\Rightarrow a=\pm1\), então \(z=1+i\) ou \(z=-1-i\).
- Se \(a=-b\): \(ab=-a^2=1\Rightarrow a^2=-1\) (impossível em \(\mathbb R\)).
Logo as raízes são \(1+i\) e \(-1-i\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/261990
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em