Flashcard FC264640
Se a ∈ ℝ é raiz dupla de um polinômio cúbico, como se pode expressar esse polinômio e que condição garante que a multiplicidade seja exatamente 2?
Polinômios e Equações Polinomiais. Expansão de Binômios. Triângulo de Pascal
IDECAN · 2021
Se a ∈ ℝ é raiz dupla de um polinômio cúbico, como se pode expressar esse polinômio e que condição garante que a multiplicidade seja exatamente 2?
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Resposta
P(x)=(x-a)^2(x-r) com r≠a.Explicação:
Se a é raiz dupla, escrevemos \(P(x)=(x-a)^2(x-r)\). Ao expandir obtém-se um cúbico cujos coeficientes dependem de \(a\) e \(r\); igualando aos coeficientes dados resolve-se para parâmetros.
Se \(r=a\), então \(P(x)=(x-a)^3\) e a passa a ser raiz de multiplicidade 3, por isso é necessário \(r\neq a\).
Exemplo:
Suponha que 2 seja raiz dupla de um polinômio cúbico \(Q(x)\). Então
\(Q(x)=(x-2)^2(x-r)\).
Expandindo: \(Q(x)=(x^2-4x+4)(x-r)=x^3-(r+4)x^2+(4+4r)x-4r\).
Comparando com a forma dada de \(Q\) pode-se determinar \(r\); e é preciso \(r\neq2\) para que 2 tenha multiplicidade exatamente 2.
Veja como foi cobrado:
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