Flashcard FC264642
Como se obtém a soma dos coeficientes de um polinômio e como determinar quantos dígitos 9 tem um número da forma \(10^k-1\)?
Polinômios e Equações Polinomiais. Expansão de Binômios. Triângulo de Pascal
IDECAN · 2021
Como se obtém a soma dos coeficientes de um polinômio e como determinar quantos dígitos 9 tem um número da forma \(10^k-1\)?
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Resposta
P(1) é a soma dos coeficientes; se \(P(1)=10^k-1\) então há exatamente \(k\) algarismos 9, logo \(n=k\).Explicação:
Para qualquer polinômio, a soma dos coeficientes é o valor do polinômio em \(x=1\), isto é, \(\sum \text{coeficientes}=P(1)\).
O número \(10^k-1\) escreve-se como k dígitos 9 (por exemplo, \(10^3-1=999\)).
Portanto, se a soma dos coeficientes for \(10^k-1\), o número de algarismos 9 é \(k\), e assim \(n=k\).
Exemplo:
Considere \(Q(x)=(4x+6)^{20}-1\).
\(Q(1)=(4\cdot1+6)^{20}-1=10^{20}-1\).
Logo a soma dos coeficientes é \(10^{20}-1\), que tem 20 algarismos 9, ou seja, \(n=20\).
Como \(20=4\times5\), conclui-se também que \(n\) é múltiplo de 5.
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/262004
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