Como determinar coeficientes desconhecidos de um polinômio quando se sabe que um número é raiz e se conhece o valor do polinômio em outro ponto?

Aplicando p(r)=0 para a raiz e usando o outro valor para formar um sistema linear nas incógnitas, depois resolvendo-o.

Explicação:
Se r é raiz então p(r)=0 fornece uma equação envolvendo os coeficientes. Se além disso sabe-se que p(s)=k, essa igualdade gera uma segunda equação. Essas equações formam um sistema linear que pode ser resolvido para os coeficientes.

exemplo:
Se \(q(x)=2x^3+cx^2+dx-7\), com raiz \(1\) e \(q(2)=5\):
\(q(1)=0\Rightarrow 2+c+d-7=0\Rightarrow c+d=5\).
\(q(2)=5\Rightarrow 16+4c+2d-7=5\Rightarrow 4c+2d=-4\Rightarrow 2c+d=-2\).
Subtraindo as equações: \((2c+d)-(c+d)=-2-5\Rightarrow c=-7\).
Logo \(d=5-c=12\). Portanto \(c=-7\) e \(d=12\).