Se uma reta é paralela a um plano, como se garante que exista uma reta desse plano paralela a essa reta?

Existe: intersecte o plano dado com um plano que contenha a reta e não seja paralelo ao plano dado.

Explicação:
Seja l paralela ao plano \(\pi\). Tome um plano \(\sigma\) tal que \(l\subset\sigma\) e \(\sigma\not\parallel\pi\). Então \(\sigma\cap\pi\) é uma reta \(m\) contida em \(\pi\). Como \(l\subset\sigma\) e \(\sigma\cap\pi=m\), as duas retas \(l\) e \(m\) pertencem ao mesmo plano \(\sigma\) e não se cruzam (pois \(l\parallel\pi\) e \(m\subset\pi\)), portanto \(l\parallel m\).

Exemplo:
Considere \(\pi:\;z=0\) e a reta \(l:\;(x,y,z)=(0,1,1)+t(1,2,0)\). Note que o vetor direção de \(l\) é \((1,2,0)\), com componente \(z=0\), logo \(l\parallel\pi\). Tome a reta do plano \(\pi\) com mesma direção: \(m:\;(x,y,z)=(0,0,0)+t(1,2,0)\).
As equações paramétricas mostram
\(l:(x,y,z)=(0,1,1)+t(1,2,0)\)
\(m:(x,y,z)=(0,0,0)+t(1,2,0)\),
portanto \(l\parallel m\) e \(m\subset\pi\).