Flashcard FC264683
Como expressar \(\cot\theta\) em função dos senos dos ângulos internos de um triângulo usando semelhança por pontos médios e as leis dos senos e dos cossenos?
Geometria Plana
IDECAN · 2019
Como expressar \(\cot\theta\) em função dos senos dos ângulos internos de um triângulo usando semelhança por pontos médios e as leis dos senos e dos cossenos?
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Resposta
\(\displaystyle \cot\theta=\dfrac{\sin\alpha}{2\sin\beta\sin\gamma}\)Explicação:
Se os pontos médios geram triângulos semelhantes, têm-se razões entre lados correspondentes e paralelismo que permitem trabalhar com triângulos menores.
Nomeando lados opostos aos ângulos \(\alpha,\beta,\gamma\) por \(a,b,c\): pela semelhança e leis seno/cosseno obtemos
\( \cos\theta=\dfrac{c}{2d}\) (lei dos cossenos num triângulo formado pelos segmentos médios) e \( \sin\theta=\dfrac{a\sin\beta}{d}\) (lei dos senos em triângulo relacionado), então
\(\displaystyle \cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}=\dfrac{c}{2a\sin\beta}=\dfrac{\sin\alpha}{2\sin\beta\sin\gamma}.\)
exemplo:
Considere \(\alpha=50^\circ,\ \beta=60^\circ,\ \gamma=70^\circ.\)
\( \sin50^\circ\approx0.7660,\ \sin60^\circ\approx0.8660,\ \sin70^\circ\approx0.9397.\)
\( \displaystyle \cot\theta=\dfrac{0.7660}{2\cdot0.8660\cdot0.9397}\approx0.4713.\)
Logo \( \theta\approx\operatorname{arccot}(0.4713)\approx64.0^\circ.\)
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