Flashcard FC264697
Em um quadrilátero convexo, qual é a relação entre a soma das diagonais \(p+q\) e o perímetro \(P\)?
Geometria Plana
IDECAN · 2021
Em um quadrilátero convexo, qual é a relação entre a soma das diagonais \(p+q\) e o perímetro \(P\)?
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Resposta
\( \dfrac{P}{2}Justificativa breve:
Aplicando a desigualdade triangular aos quatro triângulos formados pela interseção das diagonais obtém‑se \(2(AO+BO+CO+DO)>P\). Como \(AO+CO=p\) e \(BO+DO=q\), segue \(2(p+q)>P\), isto é \(p+q>\dfrac{P}{2}\).
Aplicando a desigualdade triangular aos triângulos \(ABC\) e \(CDA\) tem‑se \(p<\dfrac{P}{2}\); análogo para \(q\). Portanto \(p+q
Exemplo:
Considere um retângulo com lados \(3\) e \(4\).
\(p=q=\sqrt{3^2+4^2}=5\) → \(p+q=10\).
\(P=2(3+4)=14\).
Verifica‑se \( \dfrac{P}{2}=7 < 10 < 14 = P\), confirmando a desigualdade.
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