Ao ligar os pontos médios dos lados de um quadrilátero qualquer, que figura se obtém e qual a relação entre seus lados e as diagonais do quadrilátero original?

Paralelogramo; seus lados opostos são paralelos às diagonais do quadrilátero original.

Explicação:
Sejam os vértices \(A,B,C,D\) e os pontos médios \(E,F,G,H\) de \(AB,BC,CD,DA\). Então \(E=\tfrac{A+B}{2},\;F=\tfrac{B+C}{2},\;G=\tfrac{C+D}{2},\;H=\tfrac{D+A}{2}\).
Calculando vetores: \( \overrightarrow{EF}=F-E=\tfrac{C-A}{2}\) e \( \overrightarrow{GH}=H-G=\tfrac{A-C}{2}=-\tfrac{C-A}{2}\), logo \(EF\parallel GH\) e têm mesmo comprimento. Analogamente \( \overrightarrow{FG}=\tfrac{D-B}{2}\) e \( \overrightarrow{HE}=\tfrac{D-B}{2}\), então \(FG\parallel HE\). Assim, a figura é um paralelogramo (Teorema de Varignon).

Exemplo:
Considere \(A=(0,0),\;B=(4,0),\;C=(3,3),\;D=(0,2)\).
Midpoints: \(E=(2,0),\;F=(3.5,1.5),\;G=(1.5,2.5),\;H=(0,1)\).
Vetores: \( \overrightarrow{EF}= (3.5-2,\;1.5-0)=(1.5,\;1.5)=\tfrac{1}{2}(3,3)=\tfrac{C-A}{2}\).
\( \overrightarrow{GH}=(0-1.5,\;1-2.5)=(-1.5,\;-1.5)=-\tfrac{C-A}{2}\).
Portanto \(EF\parallel GH\).
De modo análogo obtém-se \(FG\parallel HE\). Logo os pontos médios formam um paralelogramo.