Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares e se cruzam em seus pontos médios, que tipo de quadrilátero ele é?

Losango.

Explicação:
Num paralelogramo as diagonais se bissetam, logo, com interseção O, tem‑se \(AO=CO\) e \(BO=DO\). Se além disso são perpendiculares, \(\angle AOB=90^\circ\). Assim triângulos \(\triangle AOB\) e \(\triangle COB\) são congruentes, implicando \(AB=BC\). Repetindo para os outros pares obtém‑se todos os lados iguais, portanto é um losango.

Exemplo:
Considere os vértices \(A(a,0),\;B(0,b),\;C(-a,0),\;D(0,-b)\) com \(a,b>0\).
As diagonais são \(AC\) e \(BD\), que se cruzam em \(O=(0,0)\) (pontos médios) e são perpendiculares. Calcule
\(AB=\sqrt{(a-0)^2+(0-b)^2}=\sqrt{a^2+b^2}\)
\(BC=\sqrt{(0+ a)^2+(b-0)^2}=\sqrt{a^2+b^2}\)
Analogamente \(CD=DA=\sqrt{a^2+b^2}\).
Logo todos os lados são iguais, confirmando que a figura é um losango.