Como se usa a fórmula da área do losango para determinar uma diagonal quando se conhece a área e a outra diagonal (ou a razão entre elas)?

Use a fórmula A = (D·d)/2 e isole a diagonal desconhecida.

Se houver uma razão D = k·d:
substitua em A = (D·d)/2 → \(A=\dfrac{k\,d^2}{2}\).
Logo \(d^2=\dfrac{2A}{k}\) e \(d=\sqrt{\dfrac{2A}{k}}\).
Depois calcule \(D=k\cdot d\) e a diferença \(D-d=(k-1)d\).

Se a outra diagonal for conhecida (por exemplo \(D_0\)):
use \(d=\dfrac{2A}{D_0}\).

exemplo
Se \(D=10\) cm e \(A=25\) cm², então
\(d=\dfrac{2A}{D}=\dfrac{50}{10}=5\) cm
e a diferença é \(D-d=10-5=5\) cm.